Эффект сокращения длины

Эффект сокращения длины

Ранее мы уже изучили формулы, называемые классическими преобразованиями Галилея, однако они несовместимы с постулатами специальной теории относительности (СТО). Поэтому в данном случае нам нужно использовать другие положения. Благодаря новым преобразованиям мы сможем установить, какая связь существует между некоторым моментом события

t

, наблюдаемого в системе отсчета

K

в точке с координатами

(x, y, z)

и показателями того же события, которое наблюдается в системе отсчета

K

.

Определение 1

Преобразования Лоренца представляют собой кинематические формулы, с помощью которых происходит преобразование координат и времени в специальной теории относительности.

Они были впервые сформулированы еще в

1904

году в качестве преобразований, относительно которых были инвариантны уравнения электродинамики.

Обозначим основные системы

K

и

K

, скорость их движения –

υ

, а ось, вдоль которой они движутся –

x

. В таком случае преобразования Лоренца примут следующий вид:

KKx=x+υt1β2,y=y,z=z,t=t+υx/c21β2. KKx=xυt1β2,y=y,z=z,t=tυx/c21β2.

β=υc

.

Используя эти формулы, мы можем вывести из них множество следствий. Так, именно из системы преобразований Лоренца следует лоренцево сокращение длины и релятивистский эффект замедления времени.

Пример 1

Возьмем случай, когда в системе

K

происходит некий процесс, длительность которого составляет

τ0 = t2  t1

(по собственному времени). Здесь

t1

и

t2

– это время на часах в начале данного процесса и в его конце. Чтобы вычислить его общую продолжительность в точке

x

, необходимо взять для расчета следующую формулу:

τ=t2t1=t2+υx/c21β2t1+υx/c21β2=t2t11β2=τ01β2

.

Формула релятивистского сокращения длины выводится из преобразований Лоренца точно таким же образом.

Принцип относительности одновременности

Еще одно важное следствие, которое необходимо знать, – это положение о том, что любая одновременность относительна.

Пример 2

Например, если в системе отсчета

K

взять две разные точки, в которых некий процесс будет протекать одновременно (с позиции стороннего наблюдателя), то в системе наблюдатель будет иметь следующее:

x1=x1+υt1β2, x2=x2+υt1β2x1x2,t1=t+υx1/c21β2, t2=t+υx2/c21β2t1t2.

Из этого вытекает пространственная разобщенность данных событий в системе

K

, следовательно, они не могут считаться одновременными. Нельзя сразу сказать, какое событие будет происходить первым, а какое вторым, поскольку это определяется особенностями системы отсчета – знак разности будет определен знаком выражения

υ(x2x1)

.

Если между событиями имеется причинно-следственная связь, то данный вывод специальной теории относительности для них использовать нельзя. Однако мы можем показать, что при этом не нарушается принцип причинности, и события следуют в нужном порядке в любой инерциальной системе отсчета.

Разберем пример, показывающий, что одновременность разобщенных в пространстве событий является относительной.

Пример 3

Возьмем систему отсчета

K

и расположим в ней длинный жесткий стержень. Его положение будет неподвижным и ориентированным вдоль оси абсцисс. Установим на оба его конца часы, синхронизированные между собой, а в центр поместим импульсную лампу. Также у нас будет система

K

, совершающая движение вдоль оси x в системе

K

.

В определенный момент времени лампа включится и пошлет световые сигналы в направлении обоих концов жесткого стержня. Поскольку она находится точно в центре, эти сигналы должны дойти до концов в одно и то же время

t

, которое должно быть зафиксировано расположенными на них часами. Однако концы стержня движутся относительно системы

K

так, что один конец стремится навстречу световому сигналу, а другой конец свету приходится догонять. Скорость света, распространяющегося в оба направления, одинакова, но сторонний наблюдатель скажет, что до левого конца свет дошел быстрее, чем до правого.

Принцип относительности одновременности

Рисунок

4.4.1.

Иллюстрация принципа относительности одновременности: достижение световым импульсом концов стержня в системе

K

в одно и то же время и в системе

K

в разное.

Инвариантные величины в СТО

Данные преобразования нужны нам для выражения относительного характера временных промежутков и промежутков расстояний. Вместе с тем в специальной теории относительности помимо утверждения относительного характера времени и пространства очень важно установить инвариантные физические величины, не изменяющиеся при смене системы отсчета. Подобной величиной является скорость света в вакууме, чей характер в рамках СТО становится абсолютным. Также важна такая величина, как интервал между событиями, поскольку именно она выражает абсолютность пространственно-временной связи.

Для вычисления пространственно-временного интервала необходимо использовать следующую формулу:

s12=c2t122l122

.

В ней с помощью параметра

l12

 выражено расстояние между точками одной системы, где совершаются события, а

t12

 – это временной промежуток между теми же самыми событиями. Если местом одного из событий является начало координат, т.е.

x1=y1=z1=0

и

(t1=0)

, а второе происходит в точке с координатами

x, y, z

в некоторое время

t

, то формула вычисления пространственно-временного интервала между ними записывается так:

s=c2t2x2y2z2

.

Преобразования Лоренца дают нам возможность доказать неизменность пространственно-временного интервала между событиями при смене инерциальной системы.

Определение 2

Если величина интервала не зависит от того, какая система отсчета используется, т.е. является объективной при любых относительных расстояниях и временных промежутках, то такой интервал называется инвариантным.

Пример 4

Допустим, что у нас есть событие (вспышка света), которое произошло в точке начала координат в некоторой системе во время, равное

0

, а потом свет переместился в другую точку с координатами

x, y, z

во время

t

. Тогда мы можем записать следующее:

x2+y2+z2=c2t2

.

У нас получилось, что интервал этой пары событий будет равен нулю. Если мы поменяем систему координат и возьмем другое время для второго события, то результаты окажутся точно такими же, поскольку:

x2+y2+z2=c2t2

Иначе говоря, любые два события, которые связывает между собой световой сигнал, будут иметь нулевой пространственно-временной интервал.

Также формулы Лоренца для времени и координат можно использовать для выведения релятивистского закона сложения скоростей.

Пример 5

Например, у нас есть частица, которая находится в системе отсчета

K

и движется в ней вдоль оси абсцисс со скоростью

ux=dxdt

. Параметры скорости

ux

 и 

u

равны

0

. В системе

K

, соответственно, скорость будет равна

ux=dxdt

.

Применим к одной из формул преобразования Лоренца операцию дифференцирования и получим следующее:

ux=ux+υ1+υc2ux, uy=0, uz=0

.

Данные отношения являются выражением релятивистского закона сложения скоростей. Он применим в случае движения частицы параллельно относительной скорости

υ

 в системах отсчета

K

 и 

K

.

Если

υc

, то релятивистские отношения могут быть преобразованы в формулы классической механики:

ux=ux+υ, uy=0, uz=0

.

Если мы имеем дело со световым импульсом, распространяющимся в системе

K

вдоль оси

x

 со скоростью 

ux=c

, то в этом случае применима следующая формула:

ux=c+υ1+υ/c=c, uy=0, uz=0

.

Иначе говоря, скорость распространения светового импульса в системе

K

вдоль оси

x

также будет равна

c

, что соответствует постулату об инвариантности скорости света.



Источник: Zaochnik.com


Добавить комментарий